Conxuntu de Mandelbrot

El conxuntu de Mandelbrot ye'l más conocíu de los conxuntos fractales y el más estudiáu. Conozse asina n'honor al matemáticu Benoît Mandelbrot (1924-2010), qu'investigó sobre él nos años setenta.

Esti conxuntu defínese asina, nel planu complexu:

Sía c un númberu complexu cualesquier. A partir de c, constrúyese una socesión por recursión:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{0}&=&0\qquad \ &{\mbox{(términu inicial)}}\qquad \\z_{n+1}&=&z_{n}^{2}+c&{\mbox{(rellación d'inducción)}}\end{matrix}}\right.}$

Si esta socesión queda acutada, entós dizse que c pertenez al conxuntu de Mandelbrot, y si non, queda escluyíu del mesmu.

Por casu, si c = 1 llogramos la socesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverxe. Como nun ta acutada, 1 nun ye un elementu del conxuntu de Mandelbrot.

Sicasí, si c = –1 llogramos la socesión 0, –1, 0, –1,… que sí ye acutada, y por tanto, –1 sí pertenez al conxuntu de Mandelbrot.

De cutiu represéntase'l conxuntu por aciu el algoritmu de tiempu d'escape. Nesi casu, los colores de los puntos que nun pertenecen al conxuntu indiquen la velocidá cola que diverxe (tiende al infinitu, en módulu) la socesión correspondiente a dichu puntu. Na imaxe d'exemplu, reparamos que'l colloráu escuru indica que al cabu de pocos cálculos sábese que'l puntu nun ta nel conxuntu ente que'l blancu informa de que se tardó muncho más en comprobalo. Como nun puede calculase un cientu de valores, ye precisu poner una llende y decidir que si los p primeros términos de la socesión tán acutaos entós considérase que'l puntu pertenez al conxuntu. Al aumentar el valor de p ameyórase la precisión de la imaxe.

Per otra parte, sábese que los puntos que la so alloña al orixe ye cimeru a 2, esto ye, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}\geq 4}$ nun pertenecen al conxuntu. Polo tanto basta atopar un solu términu de la socesión que verifique |z_n| > 2 pa tar seguru de que c nun ta nel conxuntu.